Question

【題目】已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A（﹣3，6），并與x軸交于點B（﹣1，0）和點C，與y軸交于點E，頂點為P，對稱軸與x軸交于點D

（Ⅰ）求這個二次函數的解析式；

（Ⅱ）連接CP，△DCP是什么特殊形狀的三角形？并加以說明；

（Ⅲ）點Q是第一象限的拋物線上一點，且滿足∠QEO=∠BEO，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）二次函數解析式為y=x2﹣x﹣；（Ⅱ）△DCP是等腰直角三角形，理由見解析；（Ⅲ）點Q坐標為（5，6）．

【解析】

（Ⅰ）把A（-3，6），B（-1，0）代入y=x2+bx+c，解方程組即可解決問題．

（Ⅱ）結論：△DCP是等腰直角三角形．求出C、D、E三點坐標即可解決問題．

（Ⅲ）如圖，連接BE、DE．只要證明△EOB≌△EOD，得到∠DEO=∠BEO，所以直線DE與拋物線的交點即為所求的點Q．求出直線DE的解析式，解方程組即可．

（Ⅰ）把A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，

得到，

解得，

∴二次函數解析式為y=x2﹣x﹣．

（Ⅱ）結論：△DCP是等腰直角三角形．

理由：對于拋物線y=x2﹣x﹣，令y=0，則x2﹣x﹣=0，解得x=﹣1或3，

∴點C坐標（3，0），

令x=0則y=﹣，

∴點E坐標（0，﹣），

∵y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣2，

∴頂點P坐標（1，﹣2），點D坐標（1，0），

∴CD=PD=2，

∵∠PDC=90°，

∴△PDC是等腰直角三角形．

（Ⅲ）如圖，連接BE、DE．

∵B（﹣1，0），D（1，0），E（0，﹣），

∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，

∴△EOB≌△EOD，

∴∠DEO=∠BEO，

∴直線DE與拋物線的交點即為所求的點Q．

設直線DE的解析式為y=kx+b，則有，

解得，

∴直線DE的解析式為y=，

由解得或，

∴點Q坐標為（5，6）．