Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，點坐標，且，滿足

(1)如圖(1)當為等腰直角三角形時；

①點坐標為__________；點坐標為__________.

②在(1)的條件下，分別以和為邊作等邊和等邊，連結，求的度數.

(2)如圖(2)，過點作軸于點，點為軸正半軸上一點，為延長線上一點，以為直角邊作等腰直角三角形，，過點作軸交于點，連結，求證：.

Answer 1

【答案】（1）①A（-2，2）；B（-4，0）②∠COB=30°

（2）見解析

【解析】

（1）作AE⊥OB于點E，由點A的坐標就可以求出OE的值，就可以求出OB的值而得出結論．
（2）由等腰直角三角形和等邊三角形的性質就可以得出∠CAO的值，再由等腰三角形的性質就可以求出∠AOC的值，從而得出結論；
（3）在AN上取一點P，使AP=OE，證明△APM≌△OEM，就可以得出MP=ME，∠AMP=∠OME，由等腰直角三角形的性質就可以得出∠PMN=∠EMN，得出△PMN≌△EMN就可以得出結論．

解：（1）如圖1，作AE⊥OB于點E，

∴∠AEO=90°．

∵

∴m=-2，n=2

∴A（-2，2）．
∴OE=AE=2．
∵AB=AO，
∴BO=2EO=4．
∴B（-4，0）；
（2）∵△ABO為等腰直角三角形，
∴AB=AO，∠BAO=90°，∠AOB=45°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴∠CAO=150°，AC=AO，
∴∠ACO=∠AOC=15°，
∴∠COB=45°-15°=30°；
（3）如圖2，在AN上取一點P，使AP=OE，

∵AM⊥y軸，AN⊥x軸，
∴∠AQO=∠AMO=90°．
∵∠MOQ=90°，
∴四邊形AMOQ是矩形．
∵A（-2，2），
∴AQ=OQ=2，
∴四邊形AMOQ是正方形，
∴∠A=∠MOE=∠AMO=90°，AM=OM．
在△APM和△OEM中，
，
∴△APM≌△OEM（SAS），
∴MP=ME，∠AMP=∠OME．
∵∠AMP+∠PMO=90°，
∴∠OME+∠PMO=90°，
即∠PME=90°．
∵△MKJ等腰直角三角形，
∴∠JMK=45°，
∴∠PMN=45°，
∴∠PMN=∠EMN．
在△PMN和△EMN中，
，
∴△PMN≌△EMN（SAS），
∴PN=EN．
∵PN=AN-AP，
∴PN=AN-0E，
∴AN-OE=EN．
∴