Question

【題目】A為⊙C上一點，過點A作弦AB，取弦AB上一點P，若滿足≤<1，則稱P為點A關于⊙C的黃金點．已知⊙C的半徑為3，點A的坐標為（1，0）．

(1)當點C的坐標為（4，0）時，

①在點D（3，0），E（4，1），F（7，0）中，點A關于⊙C的黃金點是 ；

②直線上存在點A關于⊙C的黃金點P，求點P的橫坐標的取值范圍；

(2)若y軸上存在點A關于⊙C的黃金點，直接寫出點C橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①D（3,0），E（4, 1）；②≤x＜；（2）-2≤x＜3.

【解析】

（1）①如圖1，根據題意畫出圖形，由圖結合已知條件分析即可得出結論；

②根據題意畫出符合要求的圖形如圖2所示，設直線與以（2,0）為圓心，1為半徑的圓交于點P1，與⊙C交于點P2 .則易得，，由此可知，求出點P1和P2的橫坐標即可得到所求答案了；

（2）由⊙C的半徑為3可知點C在以點A為圓心，3為半徑的圓上，由y軸上存在點A關于⊙C的黃金點可知，點C到y軸的距離不能超過3，由此畫出符合題意的圖3，根據圖3即可求得點C的橫坐標的取值范圍了.

（1）①如圖1，過點C作CP⊥AB于點P，

∴AP=AB，

∵AE>AP，AE<AB，

∴，

∴點E是點A關于⊙C的黃金點；

∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（3，0），點F的坐標為（7，0），

∴可得AF=6，AD=2，

∴，，

∴點D是點A關于⊙C的黃金點，點F不是點A關于⊙C的黃金點；

∴D、E、F三點中點D和點E是點A關于⊙C的黃金點；

②∵在直線中，當x=1時，y=0，

∴直線過A（1,0），且與x軸正方向夾角為30°，

如圖時所示：設直線與以（2，0）為圓心，1為半徑的圓交于點P1，與⊙C交于點P2 ，連接P1N，過P1作P1N⊥x軸于點E，

則∠AP1N=90°，AN=2，∠NAP1=30°，

∴AP1=AN·cos30°=，

∴AE=AP1·cos30°=，

∴OE=OA+AE=，

∴P1=，

同理可得：P2=.

∴≤x＜.

（2）如圖3所示：

∵點A的坐標為（1，0），⊙C的的半徑為3，且點A在⊙C上，

∴點C只能在以點A為圓心，3為半徑的圓上，

又∵在y軸上存在點A關于⊙C的的黃金點，

∴⊙C和y軸有公共點，

又∵⊙C的半徑為3，

∴點C只能在直線x=3和直線x=-3之間（包括兩條直線上），

∴如下圖所示，點C的橫坐標的取值范圍是-2≤x＜3.