Question

【題目】（1）問題提出：如圖已知直線OA的解析式是y＝2x，OC⊥OA，求直線OC的函數解析式．

甲同學提出了他的想法：在直線y＝2x上取一點M，過M作x軸的垂線，垂足為D設點M的橫坐標為m，則點M的縱坐標為2m．即OD＝m，MD＝2m，然后在OC上截取ON＝OM，過N作x軸的垂線垂足為B．則點N的坐標為　 　，直線OC的解析式為　 　．

（2）拓展：已知直線OA的解析式是y＝kx，OC⊥OA，求直線OC的函數解析式．

（3）應用：直接寫出經過P（2，3），且垂直于直線y＝﹣x+2的直線解析式　 　．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2m，m），y＝﹣x（2）y＝﹣x（3）y＝3x﹣3

【解析】

（1）設出點M的坐標，構造全等三角形，進而求出點N坐標，最后用待定系數法即可得出結論；

（2）同（1）的方法即可得出結論；

（3）先根據（2）求出直線的比例系數，最后將點P的坐標代入即可得出結論．

（1）在第一象限直線y＝2x上取一點M，過M作x軸的垂線，垂足為D，在第二象限OC上截取ON＝OM，過N作x軸的垂線，垂足為B．

∴∠ODM＝∠OBN＝90°，

∴∠DOM+∠DMO＝90°，

∵OA⊥OC，

∴∠DOM+∠BON＝90°，

∴∠DMO＝∠BON，

在△ODM和△NBO中，，

∴△ODM≌△NBO（AAS），

∴DM＝OB，OD＝BN，

∵設點M的橫坐標為m，則點M的縱坐標為2m．

∴OD＝m，MD＝2m，

∴OB＝2m，BN＝m，

∴N（﹣2m，m），

設直線OC的解析式為y＝kx，

∴﹣2mk＝m，

∴k＝﹣，

∴直線OC的解析式為y＝﹣x，

故答案為（﹣2m，m），y＝﹣x；

（2）當k＞0時，在第一象限直線y＝kx上取一點M，過M作x軸的垂線，垂足為D，在第二象限OC上截取ON＝OM，過N作x軸的垂線，垂足為B．

∴∠ODM＝∠OBN＝90°，

∴∠DOM+∠DMO＝90°，

∵OA⊥OC，

∴∠DOM+∠BON＝90°，

∴∠DMO＝∠BON，

在△ODM和△NBO中，，

∴△ODM≌△NBO（AAS），

∴DM＝OB，OD＝BN，

∵設點M的橫坐標為m，則點M的縱坐標為km．

∴OD＝m，MD＝km，

∴OB＝km，BN＝m，

∴N（﹣km，m），

設直線OC的解析式為y＝k'x，

∴﹣2kmk'＝m，

∴k＝﹣，

∴直線OC的解析式為y＝﹣x；

當k＜0時，同理可得，直線OC的解析式為y＝﹣x；

即：直線OC的解析式為y＝﹣x；

（3）同（2）的方法得，直線y＝kx與直線y＝k'x垂直，可得kk'＝﹣1，

設過點P的直線解析式為y＝kx+b，

∵經過P（2，3），且垂直于直線y＝﹣x+2，

∴k＝3，

∴過點P的直線解析式為y＝3x+b，

∴3×2+b＝3，

∴b＝﹣3，

∴過點P的直線解析式為y＝3x﹣3，

故答案為y＝3x﹣3．