Question

【題目】在△ABC中，BC=3 ，AC=5，∠B=45°，對于下面四個結論：
①∠C一定是鈍角； ②△ABC的外接圓半徑為3；③sinA= ；④△ABC外接圓的外切正六邊形的邊長是 ．其中正確的個數是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖1，過C作CD⊥AB于D，過A作AE⊥BC于E，

∵∠B=45°，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∵BC=3 ，

∴BD=CD=3，

由勾股定理得：AD= = =4，

∴sin∠BAC= = ，

所以③正確；

由S△ABC= ABCD= CBAE，

∴7×3=3 AE，

AE= = ，

在Rt△ABE中，

BE= = = ＞BC=3 = ，

∴∠ACB＞90°，

即∠C一定是鈍角；

所以①正確；

如圖2，設△ABC的外接圓的圓心為O，連接OA、OC，

∵∠B=45°，

∴∠AOC=2∠B=90°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∵AC=5，

∴OA= = ，

則△ABC的外接圓半徑為 ；

所以②不正確；

如圖3，此正六邊形是△ABC的外接圓的外切正六邊形，

Rt△ODF中，由②得：OD= ，

由題意得：△OEF是等邊三角形，

∴∠OFE=60°，

tan60°= = ，

<>∴DF= × = ，

∴EF=2DF= ，

則△ABC外接圓的外切正六邊形的邊長是 ，

所以④正確，

故本題正確的結論有：①③④；3個；

所以答案是：C．

【考點精析】認真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，還要掌握正多邊形和圓(圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角；圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等)的相關知識才是答題的關鍵．