Question

（1）已知 x²-6x+9+|y+1|=0，求（x+2y）²（x-2y）²-（x-2y）（x²+4y²）（x+2y）的值．
（2）若△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足等式3（a²+b²+c²）=（a+b+c）²，試確定該三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）將已知等式左邊前三項結合，利用完全平方公式變形，根據兩非負數之和為0，得到兩非負數分別為0，求出x與y的值，將所求式子第一項利用積的乘方逆運算法則變形，利用平方差公式化簡，再利用完全平方公式展開，第二項第一、三個因式結合，利用平方差公式化簡，再利用平方差公式化簡，去括號合并得到最簡結果，將x與y的值代入計算，即可求出值；
（2）將已知等式左邊去括號化簡，右邊利用完全平方公式展開，整理后再利用完全平方公式變形，根據非負數之和為0，得到非負數分別為0，得到a=b=c，即可得到三角形為等邊三角形．

解答：解：（1）∵x²-6x+9+|y+1|=（x-3）²+|y+1|=0，
∴x-3=0且y+1=0，即x=3，y=-1，
則（x+2y）²（x-2y）²-（x-2y）（x²+4y²）（x+2y）=（x²-4y²）²-（x²-4y²）（x²+4y²）=x⁴-8x²y²+16y⁴-x⁴+16y⁴=8x²y²+32y⁴=-8×9×1+32=-40；

（2）3（a²+b²+c²）=（a+b+c）²變形得：3a²+3b²+3c²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，
3a²+3b²+3c²-a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0，
整理得：（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∴a=b=c，
則△ABC為等邊三角形．

點評：此題考查了整式的化簡求值，非負數的性質，以及配方法的應用，涉及的知識有：完全平方公式，平方差公式，多項式除以單項式法則，單項式乘以多項式法則，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．