Question

定義新運算：（a，b）?（c，d）=（ac，bd），（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d）（a，b）*（c，d）=a²+c²-bd
（1）求（1，2）*（3，-4）的值；
（2）已知（1，2）?（p，q）=（2，-4），分別求出p與q的值；
（3）在（2）的條件下，求（1，2）⊕（p，q）的結果；
（4）已知x²+2xy+y²=5，x²-2xy+y²=1，求（x，5）*（y，xy）的值．

Answer 1

分析：（1）由（a，b）*（c，d）=a²+c²-bd，即可推出（1，2）*（3，-4）=1²+3²-2×（-4），通過計算即可推出結果；
（2）由（a，b）?（c，d）=（ac，bd），（1，2）?（p，q）=（1×p，2×q），所以p=2，2q=-4，通過解方程即可推出q的值；
（3）由（2）所推出的結論，結合已知條件，套用公式后即可推出結果；
（4）由x²+2xy+y²=5，x²-2xy+y²=1，即可推出x²+y²=3，xy=1，然后通過套用公式可知，原式=x²+y²-5xy，通過代入求值即可求出結果．

解答：解：（1）∵（a，b）*（c，d）=a²+c²-bd，
∴（1，2）*（3，-4）=1²+3²-2×（-4）
=1+9+8
=18；

（2）∵（a，b）?（c，d）=（ac，bd），
∴（1，2）?（p，q）=（1×p，2×q），
∵（1，2）?（p，q）=（2，-4），
∴p=2，2q=-4，
∴q=-2；

（3）∵q=-2，p=2，（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），
∴（1，2）⊕（p，q）
=（1，2）⊕（2，-2）
=（3，0）；

（4）∵x²+2xy+y²=5，x²-2xy+y²=1，
∴x²+y²=3，xy=1，
∵（a，b）*（c，d）=a²+c²-bd，
∴（x，5）*（y，xy）
=x²+y²-5xy
=3-5
=-2．

點評：本題主要考查有理數的混合運算，關鍵在于正確的根據已知條件套用公式．