Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，過原點O及點A（0，4）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發，以每秒4個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設移動時間為t秒．

（1）當點P移動到點D時，求出此時t的值．

（2）當t為何值時，△PQB為直角三角形．

（3）已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為y=﹣．問是否存在某一時刻t，將△PQB繞某點旋轉180°后，三個對應頂點恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當t=2或t=5+或t=5﹣時，△PQB為直角三角形．（3）存在這樣的t值，t1=，t2=2．

【解析】

（1）首先根據矩形的性質求出DO的長，進而得出t的值；
（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進而利用勾股定理分別分析得出PB2=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，QB2=（12﹣4t）2+42，PQ2=（4t﹣2t）2+（2t）2=8t2，再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可；
（3）存在這樣的t值，若將△PQB繞某點旋轉180°，三個對應頂點恰好都落在拋物線上，則旋轉中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形，根據平行四邊形的性質和對稱性可求出t的值．

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴∠AOC=∠OAB=90°，

∵OD平分∠AOC，

∴∠AOD=∠DOQ=45°，

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，

∴AO=AD=4，

∴

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．

如圖1，

作PG⊥OC于點G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，

∴∠OPG=45°，

∵

∴OG=PG=2t，

∴點P（2t，2t）

又∵Q（4t，0），B（12，4），

根據兩點間的距離公式可得：PB2=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，QB2=（12﹣4t）2+42，PQ2=（4t﹣2t）2+（2t）2=8t2，

①若∠PQB=90°，則有PQ2+BQ2=PB2，

即：8t2+[（12﹣4t）2+42]=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，

整理得：t2﹣2t=0，

解得：t1=0（舍去），t2=2，

∴t=2，

②若∠PBQ=90°，則有PB2+QB2=PQ2，

∴[（12﹣2t）2+（4﹣2t）2]+[（12﹣4t）2+42]=8t2，

整理得：t2﹣10t+20=0，

解得：

∴當t=2或或時，△PQB為直角三角形．

（3）存在這樣的t值，理由如下：

將△PQB繞某點旋轉180°，三個對應頂點恰好都落在拋物線上，

則旋轉中心為PQ中點，此時四邊形PBQB′為平行四邊形．

∵PO=PQ，由P（2t，2t），Q（4t，0），知旋轉中心坐標可表示為（3t，t），

∵點B坐標為（12，4），

∴點B′的坐標為（6t﹣12，2t﹣4），

代入 得：2t2﹣13t+18=0，

解得：