Question

【題目】（知識生成）我們已經知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數學等式，例如由圖1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2請解答下列問題:

（1）寫出圖2中所表示的數學等式________________；

（2）利用(1)中所得到的結論，解決下面的問題:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值；

（3）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a,b的長方形紙片拼出一個面積為(2a+b)(a+2b)長方形，則x+y+z=_______；

（知識遷移）(4)事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數恒等式，圖4表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據圖4中圖形的變化關系，寫出一個數學等式：_______________.

Answer 1

【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）45；（3）x+y+z=9；（4）.

【解析】

（1）根據數據表示出矩形的長與寬，再根據矩形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的矩形的面積，然后根據面積相等即可寫出等式．
（2）根據利用（1）中所得到的結論，將a+b+c=11，ab+bc+ac=38作為整式代入即可求出．
（3）找規律，根據公式畫出圖形，拼成一個長方形，使它滿足所給的條件．

（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

（2）由（1）得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38

∴121=a2+b2+c2+2×38，所以a2+b2+c2=121-76=45.

（3）（a+2b）（2a+b）=2a2+2b2+5ab，

所以x=2，y=2，z=5，所以x+y+z=9.

（4）x3-x=x（x-1）（x+1）.