Question

【題目】如圖，已知，以為直徑，為圓心的半圓交于點，點為弧的中點，連接交于點，為的角平分線，且，垂足為點．

判斷直線與的位置關系，并說明理由；

若，，求的長．

Answer 1

【答案】直線與的位置關系是相切，理由見解析； ．

【解析】

（1）連接CE，推出AD∥CE，得出∠ECM=∠DAC=∠DAB=∠EBC，根據∠AHB=90°推出∠DAB+∠ABE=90°．代入推出∠ABE+∠EBC=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）求出AC長，求出AM=AB=3，求出CM=2，證△ECM∽△EBC，得出比例式，推出BE=2EC，在△BEC中，根據勾股定理即可求出BE．

直線與的位置關系是相切，

理由是：連接，

∵為直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵弧弧，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，

又∵經過直徑的外端，

∴是圓的切線．

∵，．由知，是直角三角形，由勾股定理得：．

在中，于，平分，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴．