Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點，及原點，頂點為．

（1）求拋物線的解析式：

（2）試判斷的形式，并說明理由：

（3）是拋物線上第二象限內的動點，過點作軸，垂足為，是否存在點使得以點、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】 ；是直角三角形點的坐標為或

【解析】

（1）根據拋物線過A（2，0）及原點可設y=a（x-2）x，然后根據拋物線y=a（x-2）x過B（3，3），求出a的值即可；
（2）利用兩點間距離公式OB2=18，OC2=2，BC2=20，利用勾股定理逆定理即可得出結論．
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點P的坐標，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點P的坐標．

根據拋物線過及原點，可設，

又∵拋物線過，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為；由知拋物線解析式為；

∴，

∵，，

∴，，，

∴，

∴是直角三角形．由知，為直角三角形，，且，

①如圖，

若，

∴，

∴，

設，則，

∴點，

代入得，

解得（舍）或，

∴的坐標為；

②如圖，

若，

∴

設，則，

點，代入得，

解得（舍），，

∴

綜上所述，點的坐標為或．