Question

【題目】如圖，在中，，平分交于點.

（1）如圖①，若于點，，求的度數；

（2）如圖②，若交于點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）首先計算出∠B，∠BAC的度數，然后可得∠EAC＝30°，再根據直角三角形兩銳角互余可得∠DAC的度數，進而可得答案；

（2）首先證明∠DAE＝∠FEC，然后再根據三角形內角和定理可得∠EAC＝90°∠C，再利用角之間的和差關系可得∠DAE＝∠DAC∠EAC，利用等量代換可得∠DAE＝∠C，進而可得結論．

（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C，

∴∠B＝80°，

∴∠BAC＝60°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝30°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝50°，

∴∠DAE＝50°30°＝20°；

（2）證明：作AD⊥BC 于D點，如圖，∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝90°，

∴∠AED＋∠FEC＝90°，

∵∠DAE＋∠AED＝90°，

∴∠DAE＝∠FEC，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC＝∠BAC＝（180°∠B∠C）＝（180°3∠C）＝90°∠C，

∵∠DAE＝∠DAC∠EAC，

∴∠DAE＝∠DAC（90°∠C）＝90°∠C90°＋∠C＝∠C，

∴∠FEC＝∠C，

∴∠C＝2∠FEC．