Question

【題目】已知，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)D為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)

（1）如圖1，連接OD，求證：AB∥OD；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）如圖1，延長(zhǎng)DO交BC于F，根據(jù)垂徑定理得到DF⊥BC，根據(jù)圓周角定理得到AB⊥BC根據(jù)平行線的判定定理即可得到AB∥OD；
（2）連接DO并延長(zhǎng)交BC于F，由垂徑定理得到DF⊥CB，求得CF=BC=4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OF=OE=OA-3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）如圖1，延長(zhǎng)DO交BC于F，

∵點(diǎn)D為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，
∴弧BD=弧CD，
∴DF⊥BC，
∵AC為⊙O的直徑，
∴AB⊥BC，
∴AB∥OD；
（2）連接DO并延長(zhǎng)交BC于F，
∵點(diǎn)D為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，
∴弧BD=弧CD，
∴DF⊥CB，
∴CF=BC=4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEO=∠OFC=90°，
∵∠DOE=∠COF，OC=OD，
∴△DOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE=OA-3，
∵OC2=OF2+CF2，
∴OC2=（OC-3）2+42，
∴OC=，
∴⊙O的半徑為．