Question

【題目】如圖1，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝CD．

（1）直接寫出＝　 ；

（2）將圖1中的△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，連接AE，P為AE的中點(diǎn)，連接PD，PC，探究線段PD與PC之間的關(guān)系；

（3）將圖1中的△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在線段BC上，連接AE，P為AE中點(diǎn)，連接PD．如圖3，若AB＝2，請(qǐng)直接寫出PD的長(zhǎng)為　 ．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）PC＝PD，PD⊥PC．理由見(jiàn)解析；（3）PD＝．

【解析】

（1）證明∠DBC＝30°，推出BC＝2CD即可解決問(wèn)題．

（2）結(jié)論PC＝PD，PD⊥PC．如圖2中，延長(zhǎng)DP到M使得PM＝PD，連接AM，CD，CM．證明△DBC≌△MAC（SAS），推出△DCM是等邊三角形，即可解決問(wèn)題．

（3）如圖3中，連接PC，求出CD，利用（2）中結(jié)論解決問(wèn)題即可．

（1）證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，

∴BD⊥AC，∠ABD＝∠DBC＝30°，∠ACB＝60°，

∴BC＝2CD，

∵CD＝CE，

∴BC＝2EC，

∴＝2．

故答案為2．

（2）解：結(jié)論PC＝PD，PD⊥PC．

理由：如圖2中，延長(zhǎng)DP到M使得PM＝PD，連接AM，CD，CM．

∵EP＝PA，∠EPD＝∠APM，PD＝PM，

∴△EPD≌△APM（SAS），

∴DE＝AM，∠DEP＝∠PAM，

∵∠DBC+∠ACB+∠CAE+∠AED+∠EDB＝540°，

∴∠DBC+∠CAE+∠AED＝540°﹣120°﹣60°＝360°，

∵∠CAM+∠CAE+∠MAP＝360°，

∴∠CBD＝∠CAM，

∵DE＝DB＝AM，CB＝CA，

∴△DBC≌△MAC（SAS），

∴CD＝CM，∠DCB＝∠MAC，

∴∠MCD＝∠ACB＝60°，

∴△DCM是等邊三角形，

∵DP＝PM，

∴PC＝PD，PC⊥PD．

（3）解：①如圖3中，連接PC．

由題意AB＝BC＝AC＝2，BD＝3

∴CD＝BC﹣BD＝2﹣3，

由（2）可知∠CPD＝90°，∠PCD＝30°，

∴PD＝CD＝﹣．

故答案為﹣．