Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延長線交于點F，點E在CF上，且∠DEC=∠BAC．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AB=AC，CE=10，EF=14，求CD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=．

【解析】

（1）連接BD，由直徑所對的圓周角是可知∠BCD=90°，結合三角形外角的性質及同弧所對的圓周角相等可得∠BDC+∠CDE=90°，由切線的判定定理可證結論；

（2）由∠BAF=∠BDE=90°可得∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB，由等腰三角形兩底角相等的性質及同弧所對的圓周角相等，等量代換可得∠F=∠FDE，易知DE長，由勾股定理可求得CD長．

解：（1）如圖，連接BD．

∵∠BAD=90°，

∴點O必在BD上，即：BD是直徑，

∴∠BCD=90°，

∴∠DEC+∠CDE=90°．

∵∠DEC=∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE=90°．

∵∠BAC=∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE=90°，

∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠BAF=∠BDE=90°，

∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ABC=∠ADB，

∴∠F=∠FDE，

∴DE=EF=14．

∵CE=10，∠BCD=90°，

∴∠DCE=90°，

∴CD==．