Question

【題目】綜合與實踐：再探平行四邊形的性質

問題情境：

學完平行四邊形的有關知識后，同學們開展了再探平行四邊形性質的數學活動，以下是“希望小組”得到的一個性質：

如圖1，已知平行四邊形中，，于點，垂直于點，則．

問題解決：

（1）如圖2，當時，還成立嗎？證明你發現的結論；

（2）如圖2，連接和，若．求的度數；

（3）如圖3，若，，點是射線上一點，且.則_________．（用含的三角函數表示）

Answer 1

【答案】（1）還成立，證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）先根據平行四邊形的性質、平行線的性質可得，再根據四邊形的內角和可得，然后根據等量代換即可得證；

（2）由（1）可知，從而可得出四點共圓，再根據圓周角定理即可得；

（3）如圖（見解析），如圖，過點A作于點E，先根據菱形的判定與性質得出，，，再根據角的和差、等量代換可得，然后根據等腰三角形的判定與性質可得，最后在中，利用余弦三角函數的定義即可得．

（1）還成立，證明如下：

∵四邊形是平行四邊形

∴

∴

在四邊形中，，，即

∴

∴；

（2）由（1）知，

則如圖，四點共圓

由圓周角定理得：；

（3）如圖，過點A作于點E

四邊形ABCD是平行四邊形，且

平行四邊形ABCD是菱形

，，

又

是等腰三角形

（等腰三角形的三線合一）

則在中，

即

故答案為：．