Question

【題目】如圖1，二次函數y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點A（﹣2，0），B（3，0），交y軸于點C，P是第一象限內二次函數圖象上的動點．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）連接PB，PC，PO，若S△POC＝S△PBC，求點P的坐標；

（3）如圖2．連接AP，交直線BC于點D，當點D是線段BC的三等分點時，求tan∠ADC的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（1，2）；（3）．

【解析】

（1）將A（﹣2，0），B（3，0）代入函數表達式，即可求解；

（2）S△PBC＝S△PQC+S△PQB，S△POC＝，而S△POC＝S△PBC，則，即可求解；

（3）證明△EAF∽△ADG、△DBG∽△CBO，再分、兩種情況，分別求解即可．

（1）將A（﹣2，0），B（3，0）代入函數表達式，得，解得，

∴所求二次函數的表達式為；

（2）過點P作PQ∥y軸交BC于點Q，

將x＝0代入中，得y＝2．

∴C（0，2）．

設直線BC對對應的函數表達式為y＝kx+c，

將B（3，0），C（0，2）代入表達式中，

得，解得，

∴．

設P（x，），Q（x，），

∴PQ＝yP﹣yQ＝﹣（）＝．

∴S△PBC＝S△PQC+S△PQB＝＝＝，

而S△POC＝＝．

∵S△POC＝S△PBC，

∴．

∴x1＝0（舍去），x2＝1．

∴P（1，2）；

（3）過點A作AE⊥AP交直線BC于點E，過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥x軸于點F，

∴∠EFA＝∠EAD＝∠AGD＝90°．

∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠DAG+∠EAF＝90°．

∴∠FEA＝∠DAG．

∴△EAF∽△ADG．

∴．

∵∠COB＝∠DGB＝90°，∠CBO＝∠CBO，

∴△DBG∽△CBO．

∴．

設E（x，），則AF＝﹣2﹣x，EF＝．

∵點D是線段BC的三等分點，

∴或．

當時，點D（2，）．

∴AG＝4，DG＝．

∴．

∴．

∴．

當時，點D（1，）．

∴AG＝3，DG＝．

∴．

∴．

∴tan∠ADC＝＝．