Question

【題目】已知，在中，，，為直線上一動點（不與點，重合），以為邊作正方形，連接.

（1）如圖1，當點在線段上時，請直接寫出：，，三條線段之間的數量關系為________.

（2）如圖2，當點在線段的延長線上時，其他條件不變.（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請你寫出正確的結論，并給出證明.

（3）如圖3，當點在線段的反向延長線上時，且點，分別在直線的兩側，其他條件不變.請直接寫出：，，三條線段之間的數量關系______________.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，正確的結論：，見解析：（3）.

【解析】

（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據此即可證得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據條件即可求得．

解：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；

（2）不成立

，理由如下：如圖2

∵，，

∴，

∴.

∵四邊形為正方形，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

（3）根據①②可知△BAD≌△CAF（SAS），

故BD=CF，DC=BD+BC，

故BC=CD－CF.