Question

已知雙曲線y=（x＞0），直線l₁：y﹣=k（x﹣）（k＜0）過定點F且與雙曲線交于A，B兩點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），直線l₂：y=﹣x+．

（1）若k=﹣1，求△OAB的面積S；

（2）若AB=，求k的值；

（3）設N（0，2），P在雙曲線上，M在直線l₂上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值時P的坐標．（參考公式：在平面直角坐標系中，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則A，B兩點間的距離為AB=）

 

Answer 1

解：（1）當k=1時，l₁：y=﹣x+2，

聯立得，，化簡得x²﹣2x+1=0，

解得：x₁=﹣1，x₂=+1，

設直線l₁與y軸交于點C，則C（0，2）．

S_△OAB=S_△AOC﹣S_△BOC=•2•（x₂﹣x₁）=2；

（2）根據題意得： 整理得：kx²+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[（1﹣k）]²﹣4×k×（﹣1）=2（1+k²）＞0，

∴x₁、x₂ 是方程的兩根，

∴ ①，

∴AB==，

=，

=，

將①代入得，AB==（k＜0），

∴=，

整理得：2k²+5k+2=0，

解得：k=2，或 k=﹣；

（3）F（，），如圖：

設P（x，），則M（﹣+，），

則PM=x+﹣==，

∵PF==，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

當點P在NF上時等號成立，此時NF的方程為y=﹣x+2，

由（1）知P（﹣1，+1），

∴當P（﹣1，+1）時，PM+PN最小值是2．