Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，A（a，0）、B（0，b），a、b滿足 +|a3 |＝0．C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO=PD，DE⊥AB于E．

（1）求∠OAB的度數；

（2）設AB=6，當點P運動時，PE的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值；

（3）設AB=6，若∠OPD=45°，求點D的坐標.

Answer 1

【答案】(1) 45°；（2）PE的值不變，PE=3；（3）D(6，0)．

【解析】

試題（1）根據非負數的性質即可求得a，b的值，從而得到△AOB是等腰直角三角形，據此即可求得；

（2）根據等腰三角形的性質以及三角形的外角的性質可以得到∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，則OC=PE，OC的長度根據等腰直角三角形的性質可以求得；

（3）利用等腰三角形的性質，以及外角的性質證得∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，根據全等三角形的對應邊相等，即可求得OD的長，從而求得D的坐標．

試題解析：（1）根據題意得：

，

解得：a=b=，

∴OA=OB，

又∵∠AOB=90°

∴△AOB為等腰直角三角形，

∴∠OAB=45°．

（2）PE的值不變．理由如下：

∵△AOB為等腰直角三角形，且AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC=45°

又∵OC⊥AB于C，

∵PO=PD

∴∠POD=∠PDO

又∵∠POD=45°+∠POC∠PDO=45°+∠DPE，

∴∠POC=∠DPE

在△POC和△DPE中，

∴△POC≌△DPE，

∴OC=PE

又OC=AB=3

∴PE=3；

（3）∵OP=PD，

∴∠POD=∠PDO=，

則∠PDA=180°-∠PDO=180°-67.5°=112.5°，

∵∠POD=∠A+∠APD，

∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，

∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，

∴∠PDA=∠BPO

則在△POB和△DPA中，

，

∴△POB≌△DPA．

∴PA=OA=，

∴DA=PB=6-，

∴OD=OA-DA=-（6-）=-6

∴D(6，0)．