Question

【題目】矩形ABCD中，BC=3，AB=8，E、F為AB、CD邊上的中點，如圖1，A在原點處，點B在y軸正半軸上，點C在第一象限，若點A從原點出發，沿x軸向右以每秒1個單位長度的速度運動，則點B隨之沿y軸下滑，并帶動矩形ABCD在平面上滑動，如圖2，設運動時間表示為t秒，當B到達原點時停止運動．

（1）當t=0時，求點F的坐標及FA的長度；
（2）當t=4時，求OE的長及∠BAO的大小；
（3）求從t=0到t=4這一時段點E運動路線的長；
（4）當以點F為圓心，FA為半徑的圓與坐標軸相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當t=0時，

∵AB=CD=8，F為CD中點，

∴DF=4，

∴F（3，4），

∴AF=5

（2）解：當t=4時，OA=4，

在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，點E是AB的中點，

∴∠ABO=30°，OE=4，

∴∠BAO=60°

（3）解：從t=0到t=4這一時段，點E運動路線是以O為圓心，OE為半徑圓心角是30°的一段弧，

（其中OE=OE1=4，∠E1OE=90°﹣60°=30°，）

∴點E運動路線的長為 = π；

（4）解：在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，

∴AF= =5，

①設AO=t1時，⊙F與x軸相切，點A為切點，

∴FA⊥OA，

∴∠OAB+∠FAB=90°，

∵∠FAD+∠FAB=90°，

∴∠BAO=∠FAD，

∵∠BOA=∠D=90°，

∴Rt△FAE∽Rt△ABO，

∴ ，

∴ ，

∴t1= ，

②設AO=t2時，⊙F與y軸相切，B為切點，同理可得，t2= ，

綜上所述，當以點F為圓心，FA為半徑的圓與坐標軸相切時，t的值為 或 ．

【解析】（1）F為CD邊上的中點，求出DF得長，進而得出點F的坐標即可得出AF。
（2）利用直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得△AOE是等邊三角形，即可得出結論。
（3）先判斷出點E運動的路線是一條弧，利用弧長公式即可得出結論；
（4）分兩種情況：①設AO=t1時，⊙F與x軸相切，點A為切點；②設AO=t2時，⊙F與y軸相切，B為切點，利用相似三角形的性質建立方程求解即可．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直角三角形斜邊上的中線的相關知識，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．