Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交⊙O的切線BE于點E，過點D作DF⊥AC，交AC的延長線于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若DF=3，DE=2．

①求值；

②求的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②60°．

【解析】

（1）連接OD，根據AD平分∠BAC得到∠DAF＝∠DAO，根據OA=OD得到∠OAD＝∠ODA，從而得到∠DAF=∠ODA，說明AF∥OD，根據垂直得到切線；

（2）①連接BD，根據AB為直徑得到∠ADB=90°，從而得到BE為切線，從而說明△BDE∽△AFD，然后得出比值；

②連接OC，設BE=2x，則AD=3x，根據△BDE∽△ABE得出方程然后求出x的值，從而得到∠BAE的角度，然后得到∠FAB的度數．

解：（1）連結OD， ∵AD平分∠BAC

∴∠DAF＝∠DAO

∵OA=OD

∴∠OAD＝∠ODA

∴∠DAF＝∠ODA

∴AF∥OD．

∵DF⊥AC

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切線

（2）①連接BD

∵直徑AB，

∴∠ADB=90°

∵圓O與BE相切

∴∠ABE=90°

∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°

∴∠DAB=∠DBE

∴∠DBE=∠FAD

∵∠BDE=∠AFD=90°

∴△BDE∽△AFD

∴

②連接OC，交AD于G 由①，設BE=2x，則AD=3x

∵△BDE∽△ABE

∴

∴

解得：x1=2，x2＝（不合題意，舍去）

∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8

∴sin∠EAB=

∴∠EAB=30°

∴∠FAB=60°．