Question

【題目】如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上五點，⊙O的直徑BE=2，∠BCD=120°，A為的中點，延長BA到點P，使BA=AP，連接PE．

（1）求線段BD的長；

（2）求證：直線PE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）證明見解析.

【解析】（1）連接DB，如圖，利用圓內接四邊形的性質得∠DEB=60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDE=90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系計算BD的長；

（2）連接EA，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE=90°，而A為的中點，則∠ABE=45°，再根據(jù)等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP為等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結論．

（1）連接DE，如圖，

∵∠BCD+∠DEB=180°，

∴∠DEB=180°﹣120°=60°，

∵BE為直徑，

∴∠BDE=90°，

在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，

BD=DE=×=3；

（2）證明：連接EA，如圖，

∵BE為直徑，

∴∠BAE=90°，

∵A為的中點，

∴∠ABE=45°，

∵BA=AP，

而EA⊥BA，

∴△BEP為等腰直角三角形，

∴∠PEB=90°，

∴PE⊥BE，

∴直線PE是⊙O的切線．