Question

【題目】點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A，C重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F，點O為AC的中點．

（1）如圖1，當點P與點O重合時，請你判斷OE與OF的數量關系；

（2）當點P運動到如圖2所示位置時，請你在圖2中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結論是否仍然成立；

（3）若點P在射線OA上運動，恰好使得∠OEF＝30°時，猜想此時線段CF，AE，OE之間有怎樣的數量關系，直接寫出結論不必證明．

Answer 1

【答案】（1）OE＝OF．理由見解析；（2）補全圖形如圖所示見解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．

【解析】

（1）根據矩形的性質以及垂線，即可判定，得出OE=OF；

（2）先延長EO交CF于點G，通過判定，得出OG=OE，再根據中，，即可得到OE=OF；

（3）根據點P在射線OA上運動，需要分兩種情況進行討論：當點P在線段OA上時，當點P在線段OA延長線上時，分別根據全等三角形的性質以及線段的和差關系進行推導計算即可．

（1）OE=OF．理由如下：

如圖1．

∵四邊形ABCD是矩形，∴ OA=OC．

∵，，∴．

∵在和中，，∴，∴ OE=OF；

（2）補全圖形如圖2，OE=OF仍然成立．證明如下：

延長EO交CF于點G．

∵，，∴ AE//CF，∴．

又∵點O為AC的中點，∴ AO=CO．

在和中，，∴，∴ OG=OE，∴中，，∴ OE=OF；

（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE．

證明如下：①如圖2，當點P在線段OA上時．

∵，，∴，由（2）可得：OF=OG，∴是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE．

又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE；

②如圖3，當點P在線段OA延長線上時．

∵，，∴，同理可得：是等邊三角形，∴ FG=OF=OE，同理可得：，∴ CG=AE．

又∵ CF=GF-CG，∴ CF=OE-AE．