Question

【題目】已知拋物線與軸只有一個交點，且與軸交于點，如圖，設它的頂點為B．

（1）求的值；

（2）過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證：△ABC是等腰直角三角形；

（3）將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線，且與x軸的左半軸交于E點，與y軸交于F點，如圖．請在拋物線上求點P，使得△是以EF為直角邊的直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）m = 2；（2）證明見解析；（3）滿足條件的P點的坐標為（， ）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）根據拋物線與x軸只有一個交點可知△的值為0，由此得到一個關于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；

（2）根據拋物線的解析式求出頂點坐標，根據A點在y軸上求出A點坐標，再求C點坐標，根據三個點的坐標得出△ABC為等腰直角三角形；

（3）根據拋物線解析式求出E、F的坐標，然后分別討論以E為直角頂點和以F為直角頂點P的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2-2x+m-1與x軸只有一個交點，

∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0，

解得，m=2；

（2）由（1）知拋物線的解析式為y=x2-2x+1=（x-1）2，易得頂點B（1，0），

當x=0時，y=1，得A（0，1）．

由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C點坐標為：（2，1）．

過C作x軸的垂線，垂足為D，則CD=1，BD=xD-xB=1．

∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=．

同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=．

∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，

因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由題知，拋物線C′的解析式為y=x2-2x-3，

當x=0時，y=-3；

當y=0時，x=-1或x=3，

∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．

第一種情況：若以E點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P1（x1，y1），作P1M⊥x軸于M．

∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，

∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，

則，即EM=3P1M．

∵EM=x1+1，P1M=y1，

∴x1+1=3y1①

由于P1（x1，y1）在拋物線C′上，

則有3（x12-2x1-3）=x1+1，

整理得，3x12-7x1-10=0，解得，

x1＝，或x2=-1（舍去）

把x1＝代入①中可解得，

y1=．

∴P1（， ）．

第二種情況：若以F點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P2（x2，y2），作P2N⊥y軸于N．

同第一種情況，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，

得，即P2N=3FN．

∵P2N=x2，FN=3+y2，

∴x2=3（3+y2）②

由于P2（x2，y2）在拋物線C′上，

則有x2=3（3+x22-2x2-3），

整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2＝．

把x2＝代入②中可解得，

y2＝．

∴P2（，）．

綜上所述，滿足條件的P點的坐標為：（， ）或（，）.