Question

【題目】如圖：已知△ABC中，CA=CB，CD⊥AB于D點，點M為線段AC上一動點，線段MN交DC于點N，且∠BAC=2∠CMN，過點C作CE⊥MN交MN延長線于點E，交線段AB于點F，探索的值.

（1）若∠ACB=90°，點M與點A重合（如圖1）時：①線段CE與EF之間的數量關系是 ；②= ；

（2）在（1）的條件下，若點M不與點A重合（如圖2），請猜想寫出的值，并證明你的猜想

（3）若∠ACB≠90°，∠CAB=，其他條件不變，請直接寫出的值（用含有的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）①CE=EF，② ；（2）=，理由見解析；（3）=.

【解析】(1)、根據等腰三角形的三線合一定理得出點E為CF的中點，從而得出答案；(2)、過點M作MQ//AB交CD于點P，交CF于點Q，根據等腰三角形、直角三角形的性質得出△MPN和△CPQ全等，從而得出CE=EQ ，MC=MQ，即CE=CQ=MN；(3)、如圖3，同(1)、(2)可得CE= CQ，易證△MPN~△CPQ，則有，即．

(1)、①CE=EF；② ；

(2)、=

理由如下：如圖2所示：過點M作MQ//AB交CD于點P，交CF于點Q，

則有∠CMP=∠BAC=45°， ∴CP=MP，

∵∠BAC=2∠CMN， ∴∠CMP=2∠CMN， ∴∠CMN=∠NMP=22.5°，∵CE⊥MN，

∴∠CEM=∠QEM=90°，∴CE=EQ （三線合一），∵CD⊥AB， MQ//AB，

∴CD⊥MQ，∴∠MPN=∠CPQ=90°，又∵∠NCE+∠CNE=∠NCE+∠CQN=90°，

∴∠CQN=∠CNE=∠MNP，又CP=MP，∴△MPN△CPQ，∴CE=EQ ，MC=MQ，

∴CE=CQ=MN，∴=；

(3)、=．

圖1 圖2 圖3