Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（﹣1，0），下列結論：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當x＞﹣1時，y＞0．其中正確結論是___________.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】由拋物線的對稱軸在y軸右側，可以判定a、b異號，由此確定①正確；由拋物線與x軸有兩個交點得到b2-4ac＞0，又拋物線過點（0，1），得出c=1，由此判定②錯誤；由拋物線過點（-1，0），得出a-b+c=0，即a=b-1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正確；由a-b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正確；由圖象可知，當自變量x的取值范圍在一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根之間時，函數值y＞0，由此判定⑤錯誤．

∵二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）過點（0，1）和（-1，0）， ∴c=1，a-b+c=0．

①∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴x=－＞0， ∴a與b異號，∴ab＜0，正確；

②∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b2-4ac＞0， ∵c=1，∴b2-4a＞0，b2＞4a，錯誤；

④∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵ab＜0，∴b＞0．∵a-b+c=0，c=1，∴a=b-1，

∵a＜0，∴b-1＜0，b＜1，∴0＜b＜1，正確；

③∵a-b+c=0，∴a+c=b，∴a+b+c=2b＞0．∵b＜1，c=1，a＜0，

∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2， ∴0＜a+b+c＜2，正確；

⑤拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為（-1，0），設另一個交點為（x0，0），則x0＞0，

由圖可知，當x0＞x＞-1時，y＞0，錯誤； 綜上所述，正確的結論有①③④．