Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點B坐標為(-3，0)，點A是y軸正半軸上一點，且AB=5，點P是x軸上位于點B右側的一個動點，設點P的坐標為（m，0）

（1）點A的坐標為( )

（2）當△ABP是等腰三角形時，求P點的坐標；

（3）如圖2，過點P作PE⊥AB交線段AB于點E，連接OE．若點A關于直線OE的對稱點為A'，當點A'恰好落在直線PE上時，BE=________(直接寫出答案)

Answer 1

【答案】（1）0，4；（2）P點的坐標為(3，0)、 (2，0)或；（3）

【解析】

（1）在直角△AOB中，利用勾股定理求出OA，則A點坐標可知；

（2） 當△ABP為等腰三角形時，可分三種情況討論，①若AB=AP時，利用勾股定理求出OP，則P點坐標可知；②若BA=BP，P點坐標易求；③若PA=PB時，設P（x,0）,運用兩點間距離公式列式可求P點坐標.

（3）過O點作OG⊥AB，由角平分線性質定理，結合PE⊥AB，求得∠GEO=45°，再利用直角三角形的面積公式求得OG的長，則GE的長可知，利用勾股定理又可求出BG，于是BE的長可知.

（1）根據題意得：

在直角△AOB中，OA=

∴A點的坐標為（0,4）

故答案為：0，4

（2）當△ABP為等腰三角形時，分三種情況討論

①若AB=AP=5，OP= ， ∴P(3，0)；

②若BA=BP=5，OP=BP-OB=5-3=2，∴P(2，0)；

③若PA=PB時，設P（x,0）, 則,

∴6x=7,

解得x= ，

∴P(，0)

故P點的坐標為：(3，0)、 (2，0)或(，0)

（3）如圖，過O點作OG⊥AB，

∵E在AA'的垂直平分線上，

∴∠AEK=∠A'EK，

∴∠GEO=∠OEH，

∵∠AEA'=∠BEP=90°，

∴∠GEO=45°，

∴OG=GE，

∵S△AOB=OG×AB=OA×OB，

∴OG= ，

∴GE=OG= ，

∵BG=,

∴BE=BG+GE=+=.

故答案為：.