Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若AE=1，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）OB =2

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由等邊三角形的性質得出AB=BC，∠B=∠C=60°，證出△OBD是等邊三角形，得出∠BOD=∠C，證出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出結論；

（2）連接CD，根據圓周角定理和等邊三角形的性質得出BD=AD=OB，然后解直角三角形即可求得．

試題解析：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：

連接OD，如圖1所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴∠BOD=60°，

∴∠BOD=∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接CD，

∵BC為直徑，

∴CD⊥AB，

∴BD=AD=OB，

在直角△ADE中，

∠A=60°，

∴AD=2AE=2，

∴OB=AD=2．