Question

【題目】如圖，經過點A（0，﹣4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點B（﹣2，0）和C，O為坐標原點．

（1）求拋物線解析式；

（2）將拋物線y=x2+bx+c向上平移個單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）0＜m＜．

【解析】

（1）該拋物線的解析式中只有兩個待定系數，只需將A、B兩點坐標代入即可得解；

（2）首先根據平移條件表示出移動后的函數解析式，從而用m表示出該函數的頂點坐標，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內時m的取值范圍.

（1）將A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入拋物線y=x2+bx+c中，得：

，

解得：，

故拋物線的解析式：y=x2﹣x﹣4．

（2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：y=（x+m）2﹣（x+m）﹣4+，即：y=x2+（m﹣1）x+m2﹣m﹣；

它的頂點坐標P：（1﹣m，﹣1）；

由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）；

設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入，

∴4k+b=0，b=﹣4，

∴y=x﹣4．

同理直線AB：y=﹣2x﹣4；

當點P在直線AB上時，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=；

當點P在直線AC上時，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；

∴當點P在△ABC內時，﹣2＜m＜；

又∵m＞0，

∴符合條件的m的取值范圍：0＜m＜．