Question

如圖，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E，F，連接DE、DF、EF，且使DE始終與AB垂直，設AD=x，△DEF的面積為y．
（1）畫出符合條件的圖形，寫出與△ADE一定相似的三角形并說明理由；
（2）EF與AB可能平行嗎？若能，請求出此時AD的長；若不能，請說明理由；
（3）求出y與x之間的函數關系式并求出自變量的取值范圍；當x為何值時，y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

解：（1）圖形舉例：
△ADE∽△BFD
∵DE⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°
∵∠A=∠B，∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD．

（2）EF可以平行于AB
此時，在直角△ADE中，DE=，
在直角△DEF中，EF=
在直角△DBF中，
∵BD=，∴DF=
而DF=2EF，
∴=，
∴．

（3）y=××（-）==（）
當時，y最大=．
分析：（1）由于AC=BC，根據等邊對等角，∠A=∠B=30°，又知道∠B也是30°，那么不難得出∠DFB就應該是90°，在△ABC中，肯定相等的角是∠A=∠B=30°，∠ADE=∠DFB=90°，因此△ADE和△BFD一定相似．
（2）如果EF∥AB，那么△DEF就是個直角三角形，如果設AD=x，那么根據AB的長，可以用x表示出BD的長，先在△ADE中，根據∠A的度數和AD的長用x和三角形函數表示出DE同理在△DEF中，用DE表示出DF，先前我們用x表示出了BD的長，那么可以在直角△BDF中，用x表示出DF，然后讓這兩個表示DF的式子相等，即可求出x即AD的長．
（3）求△DEF的高就要知道它的底邊和高分別是多少，在（2）中我們已經得出了DE=，DE邊上的高=DF•sin30°=DF=（-），由此可根據三角形的面積公式來列出關于x，y的函數關系式．當F與C重合時x最小，此時BF=2．那么BD=，x=2-BD=；當E與C重合時，AD就是AB的一半，此時x=，x的值最大，因此x的取值范圍就是≤x≤．然后根據得出的函數式和自變量的取值求出y的最大值是多少．
點評：本題結合梯形的性質考查二次函數的綜合應用，利用直角三角形的特殊角和直角三角形之間的公共邊求解是解題的關鍵．