Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，對角線AC、BD交于點O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若AB＝2，求△OEC的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）1

【解析】

（1）證出∠BAD＝∠BCD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，得出OA＝OC，OB＝OD，證出AC＝BD，即可解決問題；

（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解決問題；

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵OA＝OB，

∴AC＝BD，

∴四邊形ABCD是矩形．

（2）解：作OF⊥BC于F，如圖所示．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，

∴AO＝BO＝CO＝DO，

∴BF＝FC，

∴OF＝CD＝1，

∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，

∴∠EDC＝45°，

在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，

∴△OEC的面積＝ECOF＝1．