Question

【題目】定義：經過三角形一邊中點，且平分三角形周長的直線叫做這個三角形在該邊上的中分線，其中落在三角形內部的部分叫做中分線段．

（1）如圖，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC邊上的中分線段，F為AC中點，過點B作DE的垂線交AC于點G，垂足為H，設AC＝b，AB＝c．

①求證：DF＝EF；

②若b＝6，c＝4，求CG的長度；

（2）若題（1）中，S△BDH＝S△EGH，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②2；（2）

【解析】

（1）①由題意得出DF是△CAB的中位線，得出DF＝AB＝c，AF＝AC＝b，CE＝（b+c），AE＝（b﹣c），求出EF＝AF﹣AE＝c，即可得出結論；

②過點A作AP⊥BG于P，由中位線定理得出DF∥AB，得出∠DFC＝∠BAC，求出∠DEF＝∠EDF，∠BAP+∠PAC＝2∠DEF，由ED⊥BG，AP⊥BG，得出DE∥AP，得出∠PAC＝∠DEF，∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，再由AP⊥BG，得出AB＝AG＝4，即可得出結果；

（2）連接BE、DG，由S△BDH＝S△EGH，得出S△BDG＝S△DEG，推出BE∥DG，再由DF∥AB，得出△ABE∽△FDG，得出，推出FG＝（b﹣c），CF＝b＝FG+CG＝（b﹣c）+（b﹣c），即可得出結果．

（1）①證明：∵F為AC中點，DE是△ABC在BC邊上的中分線段，

∴DF是△CAB的中位線，

∴DF＝AB＝c，AF＝AC＝b，CE＝（b+c），

∴AE＝b﹣CE＝b﹣（b+c）＝（b﹣c），

∴EF＝AF﹣AE＝b﹣（b﹣c）＝c，

∴DF＝EF；

②解：過點A作AP⊥BG于P，如圖1所示：

∵DF是△CAB的中位線，

∴DF∥AB，

∴∠DFC＝∠BAC，

∵∠DFC＝∠DEF+∠EDF，EF＝DF，

∴∠DEF＝∠EDF，

∴∠BAP+∠PAC＝2∠DEF，

∵ED⊥BG，AP⊥BG，

∴DE∥AP，

∴∠PAC＝∠DEF，

∴∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，

∵AP⊥BG，

∴AB＝AG＝4，

∴CG＝AC﹣AG＝6﹣4＝2；

（2）解：連接BE、DG，如圖2所示：

∵S△BDH＝S△EGH，

∴S△BDG＝S△DEG，

∴BE∥DG，

∵DF∥AB，

∴△ABE∽△FDG，

∴，

∴FG＝AE＝×（b﹣c）＝（b﹣c），

∵AB＝AG＝c，

∴CG＝b﹣c，

∴CF＝b＝FG+CG＝（b﹣c）+（b﹣c），

∴3b＝5c，

∴．