Question

如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中點．
  
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若BC=cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）△ABC是等邊三角形；（2）（）平方厘米

試題分析：（1）由C是弧AB的中點可得弧AC=弧BC，根據圓周角定理可得∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，即可得到△ABC的形狀；
（2）連接BO、OC，過O作OE⊥BC于E，先根據垂徑定理求得BE=EC=，再根據圓周角定理可得∠BOC、∠BOE的度數，在Rt△BOE中，根據∠BOE的正弦函數可求得OB的長，再根據扇形的面積公式及三角形的面積公式求解即可.
（1）∵C是弧AB的中點，
∴弧AC=弧BC，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）連接BO、OC，過O作OE⊥BC于E

∵BC=，
∴BE=EC=，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°=，
∴OB=6cm，
∴S扇形BOC=cm²
∵S△BOC=cm²  
∴S陰影 =cm² 
答：圖中陰影部分的面積是（）平方厘米
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．