Question

【題目】如圖，C是線段AB上一點，分別以AC、CB為邊作等邊三角形ACD和CBE，連結AE、BD，AE交DC、DB分別為F點、H點，BD交CE于G點，連結FG.求證:① ∠FAC=∠HDC ;② ∠HFG=∠HAC;③ ∠BHA=120 °.

Answer 1

【答案】①證明見解析；②證明見解析；③證明見解析.

【解析】

①由“ASA”可證△ACE≌△DCB，從而可以證明∠FAC =∠HDC；

②先證明△ACF≌△DCG得CF=CG，得出△FCG是等邊三角形得∠GFC=∠ACD，從而可證明FG∥AB，進而證明結論；

③證明∠DHA=∠ACD=60°即可得結論.

①∵△ACD和△BCE是等邊三角形，

∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，

∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，

即∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴∠FAC =∠HDC；

②∵∠EAC=∠BDC，

∵∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠DCG=60°，且∠EAC=∠BDC，AC=DC，

∴△ACF≌△DCG（ASA），

∴CF=CG，

∵∠FCG=60°

∴△FCG是等邊三角形

∴∠GFC=∠ACD=60°，

∴FG∥AB，

∴∠HFG=∠HAC

③∵△ACE≌△DCB

∴∠CAE=∠BDC

∵∠ACD=∠BDC+∠CBD=60°

∴∠DHA=∠CAE+∠CBD=60°

∴∠BHA=120 °.