Question

【題目】如圖，、是等腰兩腰上的高，、相交于點．

（1）求證：；

（2）點在邊的延長線上，過作交的延長線于點，作交的延長線于點．求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據“AAS”證明△BMC≌△CNB，可得∠OBC＝∠OCB，再根據經等角對等邊可證結論成立；

（2）由＝－，可得PE－PF＝BM，由△BOM∽△BAN，得，再證明AM＝AN，代入整理可證結論成立．

解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵CM⊥AB，BN⊥AC，

∴∠BMC＝∠CNB＝90°，

又∵BC＝BC，

∴△BMC≌△CNB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC；

（2）連接OP，

∵PE//AB，PF//AC，

∴∠PEC＝∠BMC＝90°，∠PFB＝∠CNB＝90°．

∵＝－，

∴OC·BM＝OC·PE－OB·PF，

∵OB＝OC，

∴PE－PF＝BM．

∵∠BMC＝∠ANB＝90°，∠BMO＝∠NBA，

∴△BOM∽△BAN，

∴，

∴OM·BN＝BM·AN＝(PE－PF)·AN．

∵△BMC≌△CNB，

∴BM＝CN，

∵AB＝AC，

∴AM＝AN，

∴OM·BN＝(PE－PF)·AM，

∴AM·PF＋OM·BN＝AM·PE．