Question

【題目】已知如圖,拋物線與軸交于點A和點C（2,0），與 軸交于點D，將△DOC繞點O逆時針旋轉90°后，點D恰好與點A重合，點C與點B重合.

（1）直接寫出點A和點B的坐標；

（2）求和的值；

（3）已知點E是該拋物線的頂點，求證：AB⊥EB.

Answer 1

【答案】（1）A（-6,0）、B（0,2）；（2）,；（3）E(-2，8) .

【解析】

試題

（1）由題意易得點D的坐標為（0，6），結合AOB是由△DOC繞點O逆時針旋轉90°得到的，即可得到OA=6，OB=OC=2，由此即可得到點A和點B的坐標；

（2）將點A和點C的坐標代入列出關于的二元一次方程組，解方程組即可求得的值；

（3）由（2）中所得的值可得二次函數的解析式，把解析式配方即可求得點E的坐標，結合點A和點B的坐標即可求得AE2、AB2、BE2的值，這樣由勾股定理的逆定理即可得到∠ABE=90°，從而可得AB⊥BE.

試題解析：

（1）∵在中，當時，，

∴點D的坐標為（0，6），

∵△AOB是由△DOC繞點O逆時針旋轉90°得到的，

∴OA=OD=6，OB=OC=2，

∴點A的坐標為（-6，0），點B的坐標為（0，2）；

（2）∵點A（-6，0）和點C（2，0）在的圖象上，

∴ ，解得： ；

（3）如圖，連接AE，

由（2）可知，

∴，

∴點E的坐標為（-2，8），

∵點A（-6，0），點B（0，2），

∴AE2=，AB2=，BE2=，

∴AE2=AB2+BE2，

∴∠ABE=90°，

∴AB⊥EB.