Question

【題目】（1）如圖1，在中，，，將繞頂點逆時針旋轉時，當時，設與于，證明：是等邊三角形；

（2）如圖1，在中，，，將繞頂點逆時針旋轉多少度時，，使得的頂點落在上？

（3）當直角三角形變為一般三角形時，如圖2，將繞點逆時針旋轉得到，與交于點，可以得到，試證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由，得∠CBA=60°，根據旋轉的性質可得∠AED=∠ACB=30°，而，所以∠ACB=∠CAE =30°，再根據三角形內角和定理即可解答；

(2) 先計算∠B=60°，根據旋轉性質得AB=AD，可知△ABD是等邊三角形，則旋轉角∠BAD的度數可求．

（3）連接，延長到，使，連接，利用旋轉的性質得到是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質證明，即可解答.

如圖1，∵在△ABC中，，，
∴∠CBA=60°（直角三角形的兩個銳角互余）．
∵，
∴∠ACB=∠CAE，
又由旋轉的性質知，∠AED=∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠CAE =30°，

∴∠PAD=∠EAD-CAE =90°-30°=60°，
∴∠ADP=60°，
∴在△CDB中，∠ADP =∠PAD =60°，

∴∠APD=180°-60°-60°=60°，
∴△ADP是等邊三角形；

（2）∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴∠B=60°．
根據旋轉的性質可知AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
旋轉角∠BAD=60°．
故答案為60°．

（3）證明：連接，延長到，使，連接，

由旋轉可知：∴，，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，∴

在和中，∵，，

∴，

在和中

∴，

∴，

∴.