Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象經過點，交軸于點，（點在點左側），頂點為．

（1）求拋物線的解析式：

（2）將沿直線對折，點的對稱點為，試求的坐標；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A'（1，4）；（3）存在，P的坐標為或．

【解析】

（1）根據題意將A，B兩點坐標分別代入解析式求解即可．

（2）根據A，C坐標可以求得AC的長，再根據三角形相似求AA'，再求坐標即可．

（3）此問轉化為圓內圓周角的問題，根據直角三角形求解即可．

解：（1）把A（-1，0），B（4，0）代入得，

，

解方程組得：，

所以二次函數的表達式為．

（2）把x=0代入得y=2，∴C的坐標為（0，2），OC=2

如圖2，作A'H⊥x軸于H，

因為，且∠AOC=∠COB=90°，

所以△AOC∽△COB，

所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，

由A'H∥OC，AC=A'C得

OH=OA=1，A'H=2OC=4；

所以A'（1，4）；

（3）分兩種情況：

①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P（BC的下方），

由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，

易得：．所以．

②如圖4，類比第（2）小題的背景將△ABC沿直線BC對折，

點A的對稱點為A'，以A'B為直徑作⊙M'，⊙M'交拋物線的對稱軸于P'（BC的上方），

則∠CP2B=∠CA'B=∠CAB．

作M'E⊥A'H于E，交對稱軸于F．

則，．

所以．

在Rt△M'P'F中，，

所以．

所以．

綜上所述，P的坐標為或．