Question

【題目】（1）問題發現如圖1，在和中，，，，連接交于點.填空：①的值為______；②的度數為______．

（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長線于點.請判斷的值及的度數，并說明理由；

（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點在平面內旋轉，所在直線交于點，若，，請直接寫出當點與點在同一條直線上時的長．

Answer 1

【答案】（1）①1；②；（2），．理由見解析；（3）2或4．

【解析】

（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根據三角形的內角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；

（2）根據銳角三角比可得，根據兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，根據相似撒尿性的性質求解即可；

（3）當點與點在同一條直線上，有兩種情況：如圖3和圖4，然后根據旋轉的性質和勾股定理，可得AD的長．

（1）①∵，

∴∠BOD=∠AOC，

又∵，，

∴△BOD≌△AOC，

∴BD=AC，

∴=1；

②∵，

∴∠OAB+∠OBA=140°，

∵△BOD≌△AOC，

∴∠CAO=∠DBO，

∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，

∴∠AMB=；

（2）如圖2，

，．理由如下：

中，，，

，

同理得：，

，

，

，

，

，∠CAO=∠DBO，

∵∠BEO+∠DBO=90°，

∴∠CAE+∠AEM=90°，

∴∠AMB=90°；

（3） ∵∠A=30°，，

∴OA==3．

如圖3，當點D和點A在點O的同側時，

∵，

∴AD=3-2=2；

如圖4，當點D和點A在點O的兩側時，

∵，，OA=3

∴AD=3+1=4．

綜上可知，AD的長是2或4．