Question

【題目】如圖，射線平分，為射線上一點，以為圓心，10為半徑作，分別與兩邊相交于、和、，連結，此時有．

（1）求證：；

（2）若，求弦的長；

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）12；

【解析】

（1）根據角平分線的定義可得∠DPO=∠BPO，然后根據平行線的性質可得∠DPO=∠POA，從而得出∠BPO=∠POA，然后根據等角對等邊即可證出結論；

（2）過點O作OH⊥AB于點H，根據垂徑定理可得，然后根據銳角三角函數證出PH=2OH，設OH=x，則PH=2x，根據勾股定理列出方程即可求出x，從而求出AH和AB．

（1）證明：∵PG平分∠EPF，

∴∠DPO=∠BPO，

∵OA∥PE，

∴∠DPO=∠POA，

∴∠BPO=∠POA，

∴PA=OA；

（2）解：過點O作OH⊥AB于點H，則

∵

∴PH=2OH

設OH=x，則PH=2x，

由（1）可知PA=OA=10，

∴AH=PH-PA=2x-10，

∵AH2+OH2=OA2，

∴（2x-10）2+x2=102

解得x1=0（不合題意，舍去），x2=8，

∴AH=6，

∴AB=2AH=12；