Question

【題目】（本題滿分10分）如圖，已知⊙的直徑AB=12cm,AC是⊙的弦，過(guò)點(diǎn)C作⊙的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接BC

（1）求證：∠PCA=∠B

（2）已知∠P=40°，點(diǎn)Q在優(yōu)弧ABC上，從點(diǎn)A開(kāi)始逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止（點(diǎn)Q與點(diǎn)C不重合），當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為或．

【解析】

試題（1）連接OC，由PC是⊙O的切線，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直徑，得到∠2+∠B=90°，從而得到結(jié)論；

（2）△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，有兩種情況，即：當(dāng)∠AOQ=∠AOC=50°時(shí)和當(dāng)∠BOQ=∠AOC=50°時(shí)，分別求得點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）連接OC，

∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，

∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；

（2）∵∠P=40°，∴∠AOC=50°，

∵AB=12，∴AO=6，

當(dāng)∠AOQ=∠AOC=50°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，

∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=，

當(dāng)∠BOQ=∠AOC=50°時(shí)，即∠AOQ=130°時(shí)，△ABQ與△ABC的面積相等，

∴點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=．

∴當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為或．