Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點P從B出發，沿BC方向，以1cm/s的速度向點C運動，點Q從A出發，沿AB方向，以2cm/s的速度向點B運動；若兩點同時出發，當其中一點到達端點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t（s）（t＞0），△BPQ的面積為S（cm2）．

（1）t＝2秒時，則點P到AB的距離是　 　cm，S＝　 　cm2；

（2）t為何值時，PQ⊥AB；

（3）t為何值時，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；

（4）求S與t之間的函數關系式，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）S＝﹣t2+3t，S的最大值為．

【解析】

（1）作PH⊥AB于H，根據勾股定理求出AB，證明△BHP∽△BCA，根據相似三角形的性質列出比例式，求出PH，根據三角形的面積公式求出S；

（2）根據△BQP∽△BCA，得到＝，代入計算求出t即可；

（3）過Q作QG⊥BC于G，證明△QBG∽△ABC，根據相似三角形的性質列式計算，得到答案；

（4）根據△QBG∽△ABC，用t表示出QG，根據三角形的面積公式列出二次函數關系式，根據二次函數的性質計算即可．

解：在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，

由勾股定理得，AB＝＝＝10cm，

∴0＜t≤5，經過ts時，BP＝t，AQ＝2t，則BQ＝10﹣2t，

（1）如圖1，作PH⊥AB于H，

當t＝2時，BP＝2，BQ＝10﹣2t＝6，

∵∠BHP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，

∴△BHP∽△BCA，

∴＝，即＝，

解得：PH＝，

∴S＝×6×＝，

故答案為：；；

（2）當PQ⊥AB時，∠BQP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，

∴△BQP∽△BCA，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

則當t＝時，PQ⊥AB；

（3）如圖2，過Q作QG⊥BC于G，

∵QB＝QP，QG⊥BC，

∴BG＝GP＝t，

∵∠BGQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B，

∴△QBG∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

∴當t＝時，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；

（4）由（3）可知，△QBG∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，QG＝﹣t+6，

∴S＝×t×（﹣t+6），

＝﹣t2+3t，

＝﹣（t﹣）2+，

則當t＝時，S的值最大，最大值為．