Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點B，C．

（1）求證：BE＝CE；

（2）將△EFG繞點E按順時針方向旋轉，當旋轉到EF與AD重合時停止轉動．若EF，EG分別與AB，BC相交于點M，N，若AB＝2．（如圖2）

①求證：四邊形EMBN的面積為定值；

②設BM＝x，△EMN面積為S，求S最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②2．

【解析】

（1）由矩形的性質得出AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，由E是AD中點得出AE＝DE，由SAS證得△BAE≌△CDE，即可得出結論；

（2）①由（1）可知△EBC是等腰直角三角形，易證△ABE是等腰直角三角形，得出∠EBC＝∠ECN＝∠EBM＝45°，證明∠MEB＝∠NEC，由ASA證得△BEM≌△CEN，得出S四邊形EMBN＝S△EBC，求出BE＝CE＝，則S四邊形EMBN＝S△EBC＝BECE＝4，即可得出結論；

②由①知△BEM≌△CEN，BE＝CE＝，則BM＝CN＝x，BC＝BE＝4，BN＝4﹣x，S＝S四邊形EMBN﹣S△BMN＝4﹣BMBN＝（x﹣2）2+2，由＞0，則當x＝2時，S有最小值為2．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，

∵E是AD中點，

∴AE＝DE，在△BAE和△CDE中，

，

∴△BAE≌△CDE（SAS），

∴BE＝CE；

（2）①證明：由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，

∴∠EBC＝45°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴∠EBC＝∠ECN＝∠EBM＝45°，

∵∠MEB+∠BEN＝90°，∠NEC+∠BEN＝90°，

∴∠MEB＝∠NEC，

在△BEM和△CEN中，

，

∴△BEM≌△CEN（ASA），

∴S四邊形EMBN＝S△EBC，

∵AB＝2，

∴BE＝CE＝，

∴S四邊形EMBN＝S△EBC＝BECE＝×2×2＝4，

∴四邊形EMBN的面積為定值；

②解：由①知，△BEM≌△CEN，BE＝CE＝，

∴BM＝CN＝x，BC＝BE＝×2＝4，

∴BN＝4﹣x，

∴S＝S四邊形EMBN﹣S△BMN＝4﹣BMBN＝4﹣x（4﹣x）＝x2﹣2x+4＝（x﹣2）2+2，

∵＞0，

∴當x＝2時，S有最小值為2．