Question

【題目】如圖，用同樣規格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察下列圖形并解答有關問題．

（1）在第n個圖中，第一橫行共_________ 塊瓷磚，第一豎列共有_________ 塊瓷磚；（均用含n的代數式表示）

（2）設鋪設地面所用瓷磚的總塊數為y，請寫出y與（1）中的n的函數關系式；

（3）按上述鋪設方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值；

（4）黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，問題（3）中，共花多少元購買瓷磚；

（5）是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數相等的情形？請通過計算說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（n+3），（n+2）；（2）y=（n+3）（n+2）；（3）20；（4）1604元；（5）不存在，理由參見解析．

【解析】試題（1）觀察圖形，找出規律即可；（2）第1個圖形有4×3塊瓷磚，第2個圖形有5×4塊瓷磚，第3個圖形有6×5塊瓷磚，所以可以推出瓷磚的總塊數為y=（n+3）（n+2）；（3）當y=506時可以代入（1）中函數關系式求出n；（4）和（1）一樣可以推出白瓷磚的總塊數為y'= n（n+1），然后可以推出黑瓷磚數目，再根據已知條件即可計算出錢數；（5）利用（4）的結論計算即可判斷是否存在．

試題解析：（1）觀察圖形得知：當n=1時，橫行為1+3=4塊，豎行有1+2=3塊，當n=2時，橫行為2+3=5塊，豎行有2+2=4塊，當n=3時，橫行為3+3=6塊，豎行有3+2=5塊，其規律是每﹣橫行有（n+3）塊，每﹣豎列有（n+2）塊．（2）當n=1時，y=（1+3）（1+2）=12，當n=2時，y=（2+3）（2+2）=20，當n=3時，y=（3+3）（3+2）=30，所以y與n的函數關系式為：y=（n+3）（n+2）；（3）由題意，得（n+3）（n+2）=506，整理得：n2+5n-500=0，解得：n=，即n1=20，n2=﹣25（舍去），所以n的值為20；（4）觀察圖形可知，每﹣橫行有白磚（n+1）塊，每﹣豎列有白磚n塊，因而白磚總數是n（n+1）塊，n=20時，白磚為20×21=420（塊），黑磚數為506﹣420=86（塊）．故總錢數為420×3+86×4=1260+344=1604（元）；（5）黑白磚總數為（n+2）（n+3）=n2+5n+6，當黑白磚塊數相等時，有方程n（n+1）=（n2+5n+6）﹣n（n+1）．整理得n2﹣3n﹣6=0．解之得n1=，n2=．由于n1的值不是整數，n2的值是負數，故不存在黑白磚塊數相等的情形．