Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的交于點，交于點，點是的延長線上一點，且∠PDB=∠A，連接，．

(1)求證：是的切線．

(2)填空：

①當的度數為______時，四邊形是菱形；

②當時，的面積為_________．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①30°；②

【解析】

（1）要證明切線，按照圓周角定理和已知的2倍角關系，證明∠ODP為直角

（2）當四邊形OBDE為菱形時，△OBD為等邊三角形，則∠P為30°

（3）連接AD，過點E作BC的垂線，通過平行相似得到a、b的第一種關系，根據勾股定理得到a、b的第二種關系，用a、b表示出△CDE的面積，再代入a與b的關系，獲得面積值．

（1）如圖，連接OD

∵OB＝OD，∠PDB＝∠A

∴∠ODB＝∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣∠PDB

∴∠ODB+∠PDB＝90°

∴∠ODP＝90°

又∵OD是⊙O的半徑

∴PD是⊙O的切線

（2）①30°

若四邊形OBDE為菱形，則OB＝BD＝DE＝EO＝OD

∴△OBD為等邊三角形

∴∠ABD＝∠A＝60°

∴∠PDB＝30°

∴∠P＝30°

即當∠P為30°時，四邊形OBDE為菱形

②

如圖所示

∵AO＝OE＝2，∠AOE＝90°

∴AE＝

∴EC＝4﹣

∵∠BAC＝45°

∴∠EDB＝135°

∴∠EDC＝45°

設DF＝EF＝b，FC＝a

∵△EFC∽△ADC

∴

∴

∵a2+b2＝（4﹣）2

解得

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