Question

【題目】定義：

我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．

理解：

（1）如圖1，已知Rt△ABC在正方形網格中，請你只用無刻度的直尺在網格中找到一點D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形（保留畫圖痕跡，找出3個即可）；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，對角線BD平分∠ABC．

求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；

（3）如圖3，已知FH是四邊形EFCH的“相似對角線”，∠EFH=∠HFG=30°，連接EG，若△EFG的面積為2，求FH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）FH=2．

【解析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情況求出CD或AD，即可畫出圖形；

（2）先判斷出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出結論；

（3）先判斷出△FEH∽△FHG，得出FH2=FEFG，再判斷出EQ=FE，繼而求出FGFE=8，即可得出結論．

（1）由圖1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，

∵四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，

當∠ACD=90°時，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴或，

∴CD=10或CD=2.5

同理：當∠CAD=90°時，AD=2.5或AD=10，

（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=40°，

∴∠A+∠ADB=140°

∵∠ADC=140°，

∴∠BDC+∠ADB=140°，

∴∠A=∠BDC，

∴△ABD∽△BDC，

∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；

（3）如圖3，

∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，

∴△EFH與△HFG相似，

∵∠EFH=∠HFG，

∴△FEH∽△FHG，

∴，

∴FH2=FEFG，

過點E作EQ⊥FG于Q，

∴EQ=FEsin60°=FE，

∵FG×EQ=2，

∴FG×FE=2，

∴FGFE=8，

∴FH2=FEFG=8，

∴FH=2．