Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，

（1）求證：∠DHO=∠DCO．

（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周長和面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20，24

【解析】

（1）根據菱形的性質可得OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，從而得出DH⊥CD，∠DHB=90°，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=OD=OB，然后根據等邊對等角可得解圖中∠1=∠DHO，然后根據同角的余角相等和等量代換即可得出∠DHO=∠DCO；

（2）根據菱形的性質可得OD=OB=BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，然后根據勾股定理即可求出CD，從而求出菱形的周長，然后根據菱形的面積等于對角線乘積的一半即可求出菱形的面積．

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，

∵DH⊥AB，

∴DH⊥CD，∠DHB=90°，

∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，

∴OH=OD=OB，

∴∠1=∠DHO，

∵DH⊥CD，

∴∠1+∠2=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠2+∠DCO=90°，

∴∠1=∠DCO，

∴∠DHO=∠DCO

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OD=OB=BD=3，AC=2OC=8，BD⊥AC，

在Rt△OCD中，CD=

菱形的周長=4CD=20，

菱形ABCD的面積=BD·AC=24．