Question

【題目】如圖，拋物線y=mx2+2mx﹣3與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，與y軸交于點C，且x2﹣x1=4．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求拋物線的對稱軸上存在一點P，使PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；

（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限．

①當M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標．

②當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x3；（2）P的坐標為：（-1，-2）；（3）①點M的坐標為（-1，-4）時，△AMB的面積最大，最大值為8；②點M的坐標為（-，-）時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）由，與，聯立方程組求出，再將A或B點坐標代入拋物線即可求解；

（2）根據兩點之間線段最短，連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，求出直線PC的解析式，與對稱軸的交點即為所求；

（3）

（1）由題意得，解得，∴B點坐標為（1,0），

將（1,0）代入得，，∴

拋物線的表達式為：．

（2）如圖1，連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，

當y=0時，，解得：x=-3或x=1．

∵A在B的左側，∴A（-3，0），B（1，0），設直線AC的解析式為：y=kx+b，則

，解得：，

∴直線AC的解析式為：，

∵拋物線對稱軸

當時，，∴點P的坐標為：（-1，-2）

（3）如圖2，點M是拋物線上的一動點，且在第三象限，∴-3＜x＜0；

①設點M的坐標為： ，

∵點M在第三象限，∴M到x軸的距離為

∵，∴S△AMB=．

∴當x=-1時，即點M的坐標為（-1，-4）時，△AMB的面積最大，最大值為8；

②設點M的坐標為：，如圖3，過點M作MD⊥AB于D，則

，，

∴S四邊形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD

=

=

=

= ，∴當時，，

即當點M的坐標為時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為．