Question

【題目】已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求證：△ABD≌△CBE；

（2）如圖2，當點D是△ABC的外接圓圓心時：

①請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結論

②當∠ABC為多少度時，點E在圓D上？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①四邊形BDCE是菱形，證明見解析；②60°，理由見解析.

【解析】

（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根據SAS可證△ABD≌△CBE；

（2）①根據點D是△ABC的外接圓圓心可知DB=DA=DC，由（1）中全等得AD=CE ，進而得到DB=DC=BE=CE，根據菱形判定定理可知四邊形BDCE是菱形；

②點E在圓D上，則DE=BD，根據BD=BE，則△BDE為等邊三角形，即可知∠EBD為60°，根據題意∠ABC=∠DBE，即可求得∠ABC的度數.

(1)

∵∠ABC=∠DBE

∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD

即∠ABD=∠CBE

∵BA=BC，BD=BE

∴△ABD≌△CBE（SAS）

(2)①四邊形BDCE是菱形；理由如下：

點D是△ABC的外接圓圓心，∴DB=DA=DC

∵△ABD≌△CBE ∴AD=CE ∴DB=DC=BE=CE

∴四邊形BDCE是菱形

②當∠ABC為60°時，點E在圓D上，

證明：∵點E在圓D上，∴DE=BD，

∵BD=BE

∴△BDE為等邊三角形

∴∠EBD=60°，

∴∠ABC=∠DBE=60°

∴當∠ABC為60°時，點E在圓D上